Claude pobił matematyczny rekord krzywych eliptycznych

Claude pobił matematyczny rekord dziedzinie krzywych eliptycznych, w której poprawa wyniku o jeden punkt kosztowała wcześniej matematyków całe lata pracy. Wewnętrzna wersja modelu Anthropic, współpracując z matematykiem Leventem Alpöge i kryptografką Avą Howell, znalazła najpierw krzywą eliptyczną o randze co najmniej 30, a trzy dni później kolejną – o randze co najmniej 31. To nowy rekord w dziedzinie, w której postęp mierzono dotąd raczej w dekadach niż w dniach.

Kluczowe wnioski

• Rekord rangi krzywej eliptycznej rósł z 28 do 29 przez 18 lat pracy społeczności matematycznej – od odkrycia Noama Elkiesa w 2006 r. do wyniku Elkiesa i Zeva Klagsbruna w 2024 r.
• Claude wraz z Leventem Alpöge i Avą Howell znalazł 20 sierpnia 2026 r. krzywą o randze co najmniej 30, a już 23 sierpnia – kolejną, o randze co najmniej 31.
• Wynik nie jest „zgadnięty” przez AI – dla rekordowej krzywej przedstawiono 31 niezależnych punktów wymiernych nieskończonego rzędu, które matematycznie potwierdzają rangę.
• Dokładna wartość 31 (a nie tylko „co najmniej 31”) wymaga przyjęcia dwóch nierozwiązanych hipotez matematycznych: uogólnionej hipotezy Riemanna oraz hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera.
• Matematycy wciąż nie wiedzą, czy rangi krzywych eliptycznych mogą rosnąć bez końca – nowy rekord nie odpowiada na to pytanie, ale przesuwa granicę wyżej.

Co to jest ranga krzywej eliptycznej

Krzywe eliptyczne, mimo mylącej nazwy, nie są elipsami. W najprostszej postaci opisuje je równanie przypominające y² = x³ + Ax + B. Matematyków interesują przede wszystkim punkty wymierne na takiej krzywej – czyli te, których współrzędne można zapisać jako ułamki liczb całkowitych.

Punkty te można ze sobą w pewnym sensie dodawać: prosta przechodząca przez dwa punkty krzywej zwykle przecina ją w jeszcze jednym miejscu, co przy zastosowaniu odpowiednich reguł pozwala generować nowe punkty. W ten sposób powstaje struktura matematyczna zwana grupą. Niektóre punkty są niezależne od innych i działają jak podstawowe składniki, z których poprzez odpowiednie operacje powstają ogromne rodziny kolejnych punktów. Liczba takich niezależnych generatorów to właśnie ranga krzywej – im wyższa, tym bogatsza staje się struktura punktów wymiernych.

Historia rekordu i tempo, które zaskoczyło środowisko

Przez lata poprawianie rekordu rangi przypominało wspinaczkę po bardzo wysokiej, gładkiej ścianie. W 2000 roku znana była krzywa o randze co najmniej 24. Sześć lat później Noam Elkies znalazł przykład osiągający co najmniej 28 – i na tym postęp praktycznie zamarł. Dopiero w 2024 roku Elkies wspólnie z Zevem Klagsbrunem podniósł rekord do co najmniej 29. Innymi słowy: 18 lat wspólnej pracy całej społeczności matematycznej przyniosło zmianę o jeden punkt.

Kolejny poziom przetrwał już zaledwie dwa lata. Do gry wszedł zespół Leventa Alpöge, Avy Howell i wewnętrznej wersji Claude'a rozwijanej przez Anthropic. 20 sierpnia 2026 roku do bazy rekordowych krzywych trafił przykład o randze co najmniej 30. Zamiast czekać kolejnych kilkunastu lat na następny krok, świat matematyki musiał czekać jedynie trzy dni – 23 sierpnia pojawiła się krzywa o randze co najmniej 31. W dziedzinie, w której pojedynczy krok potrafił wymagać kilkunastu lat, zespół zrobił dwa kroki w ciągu kilku dni.

Dowód, nie zgadywanka – i dlaczego to nie zagraża kryptografii

Przy matematycznych osiągnięciach modeli językowych naturalnie rodzi się pytanie, czy model rzeczywiście coś odkrył, czy tylko wygenerował przekonująco wyglądające, ale fałszywe równanie. W tym przypadku wynik jest weryfikowalny: dla rekordowej krzywej przedstawiono 31 niezależnych punktów wymiernych nieskończonego rzędu, które stanowią matematycznych „świadków” potwierdzających, że ranga wynosi co najmniej 31. Nie wystarczyło więc dopisać liczby 31 do równania – trzeba było dostarczyć konkretnych, sprawdzalnych dowodów.

Sam zapis krzywej jest przy tym ogromny – współczynniki równania zawierają dziesiątki cyfr, a współrzędne punktów przyjmują gigantyczne wartości, co czyni ją bezużyteczną do prostego „oglądania” jako wykresu. Bezwarunkowo potwierdzona jest wartość co najmniej 31, natomiast dokładna wartość 31 wymaga przyjęcia dwóch słynnych, nierozwiązanych hipotez: uogólnionej hipotezy Riemanna oraz hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera – tej drugiej, która sama należy do największych otwartych problemów współczesnej matematyki.

Warto przy tym jasno oddzielić ten wynik od kryptografii. Krzywe eliptyczne wykorzystuje się w systemach zabezpieczających komunikację i podpisy cyfrowe, ale nowy rekord rangi nie oznacza, że Claude złamał współczesne zabezpieczenia. Badania nad wysokimi rangami krzywych dotyczą zupełnie innego problemu matematycznego niż ten, na którym opiera się bezpieczeństwo stosowanych dziś algorytmów kryptograficznych.

AI wchodzi na teren matematyków badawczych

Wynik dotyczący rangi 31 wpisuje się w szerszy trend ostatnich miesięcy, w którym najnowsze modele językowe zaczynają radzić sobie z problemami znacznie wykraczającymi poza szkolną matematykę. Jeszcze w czerwcu modele AI wypadały słabo na specjalnie przygotowanych, niepublikowanych zadaniach pochodzących z prawdziwych badań matematycznych – test był celowo brutalny i pokazywał dużą przepaść między ładnie wyglądającym rozumowaniem a rzeczywistą matematyką badawczą. Kilka miesięcy później obraz wygląda już inaczej.

Głośno zrobiło się również wokół wykorzystania najnowszych modeli przy pracach nad problemem Naviera-Stokesa, choć tam sytuacja jest bardziej skomplikowana i wywołała spór o pochodzenie użytych pomysłów. Mimo kontrowersji sam kierunek zmian – coraz częstsze wchodzenie AI na teren dotąd zarezerwowany dla ludzkich matematyków – trudno przeoczyć.

Poszukiwanie coraz wyższych rang krzywych eliptycznych to nie tylko bicie rekordu dla samego rekordu. Matematycy wciąż nie wiedzą, czy rangi krzywych eliptycznych nad liczbami wymiernymi mogą rosnąć bez ograniczeń, czy istnieje gdzieś ich maksymalna wartość. Ranga 31 nie rozwiązuje tego pytania – pokazuje jedynie, że jeśli górna granica istnieje, znajduje się jeszcze wyżej niż dotąd sądzono.

Historia tego rekordu – od 18 lat mozolnej pracy do skoku o dwa poziomy w ciągu trzech dni – dobrze podsumowuje, jak szybko zmienia się rola sztucznej inteligencji w matematyce badawczej. To, co do niedawna wydawało się zadaniem wyłącznie dla ludzkich ekspertów, coraz częściej staje się wspólnym przedsięwzięciem matematyków i modeli językowych.